Bài toán - Sắp tết vật giá lại tăng

Bài toán - Sắp tết vật giá lại tăng
Một câu đố thuộc thể loại toán học. Bài toán này sẽ cần kiến thức toán học nhất định nên không thể chỉ giải bằng cách suy luận thông thường! Hy vọng với những bạn yêu thích toán đây sẽ là một câu đố hay. Nếu có thắc mắc hoặc cần gợi ý hãy để lại nhận xét.

Ở một đất nước nọ với nền kinh tế tự cung tự cấp không giao thương với nước ngoài, ông vua thông thái muốn chuyển từ tiền xu sang tiền giấy, bèn cho phát hành 2 loại tiền 9 đồng và 11 đồng.

Nhưng khi tiền sản xuất gần xong sắp đưa ra sử dụng ông chợt nhận ra mình cũng không thông thái lắm vì chỉ với 2 loại tiền này không thể trả được mọi loại gí trị mặt hàng. Chẳng hạn như mặt hàng có giá 10 đồng, 12 đồng...

Nhưng ông vua không muốn nhận mình sai sau khi tính toán kĩ lưỡng bèn nhân dịp tết tăng giá chung cho mọi loại mặt hàng thêm X đồng. ( Khi tăng giá mặt hàng lên một mức nhất định sẽ không còn mặt hàng nào không thể trả được nữa ). Ví dụ ban đầu 1 cân thịt có giá 25 đồng giờ thành 25+X đồng.

Đương nhiên để tránh gây xôn xao dư luận X càng nhỏ càng tốt.

Biết: Hiện tại giá 1 mớ rau đang là 10 đồng (mặt hàng rẻ nhất hiện tại) và tất nhiên không có kiểu giá trị số thập phân ở đây (10,54 đồng, 25,52 đồng...).

Câu hỏi: X có giá trị là bao nhiêu ?

Câu đố được gửi bởi bạn đọc.

Để tìm X trước hết ta tìm giá trị lớn nhất mà chỉ với 2 loại tiền 9 đồng và 11 đồng không trả được.

Giả sử số A = 9a + 11b
=> A = 9(a+11n) + 11(b-9n) = 9(a-11y) + 11(b+9y) Với x, y bất kì.

Và vì 9 và 11 không có ước chung khác 1 => Nếu A = 9a + 11b

Khi tăng a và giảm b thì cặp số gần nhất, tiếp theo thỏa mãn là A= 9x(a+11) + 11(b-11)

Tương tự giảm a tăng b thì A = 9(a-11) + 11(b+9)

Với 1 giá trị A không thể trả được tức là phương trình A = 9a + 11b không có giá trị a,b nguyên, không âm.

Ta biết:

- Với mọi giá trị A đều tồn tại giá trị nguyên ( âm hoặc dương) a,b sao cho A = 9a + 11b
( Ví dụ 1 số K bất kì thì đều có 1 cặp giá trị kiểu K = 5K x 9 - 4K x 11 )

- Giá trị A này chỉ tồn tại những cặp (a,b) hoặc a âm hoặc b âm 9 ( đương nhiên không thể cả 2 cùng âm vì giá tiền cần trả đương nhiên dương )

Giả sử ban đầu A = 9a + 11b có a âm ( thêm bớt và giá trị nhân với 9 và 11) => a+11n dương thì b-9x lại âm

Thêm, bớt vừa đủ => a + (11x-1)<0 và a+11n>=0 <=> -11n <= a < 11-11n
b-9x < 0 <=> 0 < b < 9x

Để A cực đại => a,b phải lớn nhất => a = (11-11n) -1 và b = 9n -1
=> A = 9x(10-11n) + 11x(9n-1) = 79

Vậy với 2 loại tiền này ta luôn trả được mọi loại giá từ 80 trở nên
=> X = 70

Nhận xét

  1. Giải xong nhưng không biết ghi sao, chỉ đưa đáp án thôi.
    Tui xét chẵn lẻ.
    +Chẵn: từ 72 trở đi, tất cả các số chẳn đều biểu diễn được với 2 tờ 9,11.
    +Lẻ: Từ 81 trở đi, số lẻ đều biểu diễn được.
    Kết luận là 81->X=71.

    Trả lờiXóa
    Trả lời
    1. nhầm nhá, 80->X=70 :3

      Xóa
    2. Cũng định làm thế này nhưng thấy nó thiếu tổng quát sau ấy :v
      Ví dụ câu khác cho 7 đồng và 13 đồng chả nhẽ thử 6 trường hợp
      Mà rõ ràng mọi cặp tiền đều có giới hạn luôn trả được kiểu như bài này, ít nhất là từ tích của 2 loại tiền trở đi

      Xóa
    3. Mình làm vậy nè. Chia làm 2 rồi nên chẵn lẻ làm nương nương nhau, mình xét lẻ nha.
      Gọi a là 1 số lẻ(để nhân với 11 và 9 ra lẻ), mình xét 11 x a và 9 x a. Tức a số 11 và a số 9. Dễ thấy, các số lẻ từ 9a tới 11a mình biểu diễn dc.
      a = 1,3,5,7,9.... Ghi tới đây mình vừa nhận ra: 11a =9(a+2) để cho các khoảng "biểu diễn được" chạm nhau. a=9 vậy số min lẻ là 81. Làm luôn chẵn nhé.
      Chẵn thì để cho 2 khoảng đó không chạm nhau, mà cách nhau 2 đơn vị->11a+2=9(a+2) --->a=8. vậy số min chẵn là 72.
      Kết luận của mình, để cho 2 khoảng "biểu diễn được" chạm hoặc cách nhau 2 đơn vị thì 11a=9(a+2) hoặc 11a+2=9(a+2).
      Bài này do 11-9=2 nên mới có vụ này, còn 13 và 7 thì mình chưa biết. Với lại đề không cho thối tiền :v

      Xóa
  2. Mình thấy hoàn toàn có thể trả mọi mặt hàng có giá trị khác nhau bằng 2 đồng 9 và 11.Và nếu thế thì X=0.

    Trả lờiXóa
  3. Bài toán ra thiếu thực tế, không có tính khoa học. Đáp án là không cần tăng giá. X = 0 là chính xác.Cứ thanh toán bình thường cho đến số dư cuối lần lượt quy đổi như sau:
    1= 5x9 – 4x11
    2 = 11 – 9
    3 = 9x4 – 11x3
    4 = 11x2 – 9x2
    5 = 9x3 -11x2
    6 = 11x3 – 9x3
    7 = 9x2 – 11x1
    8 = 11x4 – 9x4

    Trả lờiXóa
    Trả lời
    1. Bây giờ lỡ người bán không có tiền thối là tịt ngòi à?

      Xóa
  4. 9 + 11 + X chia hết cho 2,3,4,5,6,7,8,9
    20 + X = 2.4a= 8a
    20 + X = 3.2.3b = 18b
    20 + X = 5c
    20 + X = 7d
    a = (9/4)b
    c = (18/5)b
    d = (18/7)b
    b = 4.5.7 = 140
    a = 315, c = 504
    d = 360, X = 2500
    10 + 2500 = 2510 = 11.4 + 274.9

    Trả lờiXóa
  5. Mình không hiểu phần đáp án. Số A = 9a+11b là một số có thể trả được bằng hai loại tiền, mà cuối cùng lại tính ra Amax = 79 là một số không thể trả được. Có thể vì bạn viết đáp án lộn xộn, sai ký tự nhiều quá

    Trả lờiXóa
Mong sẽ nhận được sự giúp đỡ của các bạn để logictrochoi ngày một hoàn thiện.

» Càng nhiều bình luận càng nhiều bài viết mới.

» Nếu phát hiện có vấn đề gì về câu đố hoặc blog xin hãy góp ý.

» Khuyến khích viết Tiếng Việt có dấu!

» Tạo chữ <b>Đậm</b> và <i>Ngiêng</i>

Archive

Biểu mẫu liên hệ

Gửi